Чтобы авторизовать юзера по ЭЦП нужно, чтобы этот юзер подписал какие-то данные (например "Hello world") на клиенте.
Потом эта подпись отправляется на сервер. Где уже можно проверить подпись.

После проверки подписи вам будет доступен отпечаток сертификата. И на сервере вы можете уже его с чем-то сравнить.
В результате проверки или авторизуете пользователя с помощью стандартного функционала своего серверного веб-фраймворка или даёте отлуп.

Как то так.

Самый правильный и безопасный подход - использование двухсторонней TLS аутентификации.

Скорее всего да, но лучше уточнить у наших партнеров - разработчиков этого модуля ООО "Цифровые Технологии"