Немного странно, что перестала открываться ЕСИА (ЕСИА не использует гост), это наводит на мысль о конфликтующих или отсутствующих пакетах https. Поэтому традиционный вопрос не установлены ли на компьютере други криптопровайдеры, вроде континента. В версию 9963 добавлена своего рода таблетка - известные конфликтующие пакеты https других криптопровайдеров удаляются, schannel добавляется, но может быть не сработало? Это касается Интернет Эксплорера.

Какие настройки реестра применялись? Разрядность операционной системы? Присутствуют ли антивирусы (бывает что антивирус перехватывает не-гост без проблем, а с гост начинаются проблемы перехвата)?

КриптоПро Фокс нужно переустанавливать после установки КриптоПро (особенно смены версии), иначе гост работать не будет. Также на заметку: в КриптоПро Фокс поддерживается только гост-2001, но не гост-2012.